Jakov G. Sinaj prejemnik Abelove nagrade 2014

Letošnji dobitnik prestižne Abelove nagrade je rusko-ameriški matematik Jakov G. Sinaj (78), ki dela na ameriški univerzi Princeton ter na Lebedovem inštitutu za teoretično fiziko Ruske akademije znanosti v Moskvi. Nagrado za vrhunske znanstvene dosežke v matematiki je dobil za prispevke na področju dinamičnih sistemov, ergodične teorije ter matematične fizike.

Jakov G. Sinaj je eden od najvplivnejših matematikov 20. in 21. stoletja. Njegovi številni znanstveni prispevki so neprecenljivi in deležni največjega spoštovanja in priznanja. Najpomembnejši med njimi so poimenovani po njem, na primer Kolmogorov-Sinajeva entropija, Sinajevi biljardi, Sinajevo naključno gibanje, Sinaj-Ruelle-Bowenova mera ter Pigorov-Sinajeva teorija.

Njegova glavna zasluga je odkritje povezave med determinističnimi dinamičnimi sistemi ter svetom naključnih pojavov. Bil je prvi, ki je dokazal tako imenovano lastnost ergodičnosti v determinističnem dinamičnem sistemu, namreč danes po njem imenovanem že omenjenem Sinajevem biljardnem sistemu, s čimer je našel ključno povezavo med dinamiko in mehaniko klasičnih dinamičnih sistemov ter statistično mehaniko klasičnih sistemov. Njegovo delo je takoj sprožilo popolnoma novo smer v razvoju tako rigorozne matematike kakor tudi teoretične fizike, pozneje tudi računske fizike, na področju dinamičnih sistemov.

Poleg znanstvenoraziskovalnega dela, ki obsega več kot 250 izvirnih člankov, je tudi izjemen pedagog, saj je vzgojil več kot 50 doktorjev znanosti ter napisal veliko monografij in učbenikov.

Abelova komisija je v utemeljitvi podelitve nagrade zapisala, da so »njegova dela imela in imajo še naprej širok in globok vpliv v matematiki in fiziki, kakor tudi stimulirajo zelo plodno povezavo med obema področjema«.

Da bi nekoliko nazorno in poljudno opisali pomembnost njegovega dela, si poglejmo primer matematičnih biljardov, bolj točno dvodimenzionalnih biljardov. Gre za točkast delec, ki se sicer prosto giblje po premici znotraj roba dvodimenzionalnega območja, a ko trči ob rob, se elastično odbije, tako da je vpadni kot enak odbojnemu glede na tangento v točki trka, velikost hitrosti pa ostaja nespremenjena. Energija delca se tako zmerom ohranja. Če je rob na primer krog, se ne dogaja nič presenetljivega, saj je odbojni kot vedno isti, tirnica delca pa s časom izriše kolobar znotraj kroga ali pa je zaključena, periodična. Govorimo o stabilnem, regularnem gibanju delca. Podobno velja za elipso ali pravokotnik. Gibanje najbolje opišemo v tako imenovanem faznem prostoru, to je prostor stanj delca, kjer je stanje enolično določeno s krajem in smerjo hitrosti. V vseh teh primerih je gibanje v faznem prostoru omejeno na gladkih krivuljah. A če zdaj, na primer, krog nekoliko deformiramo, se tipično zgodi, da se pojavijo kaotične tirnice za določene začetne podatke delca (kraj in smer). Le-te lahko sčasoma izrišejo kar vso notranjost kroga, kar ustreza kaotičnim območjem v faznem prostoru, to so območja s pozitivno površino, tako da gibanje ni več regularno, ampak kaotično. Ob določeni dovolj veliki deformaciji kroga pa lahko dosežemo, da postanejo kaotična vsa mogoča gibanja za vse možne začetne podatke, tako da tirnica v faznem prostoru sčasoma izriše ves fazni prostor. Pravimo, da je tak sistem ergodičen. Lastnost ergodičnosti pa je ključnega pomena v statistični mehaniki klasičnih dinamičnih sistemov, ko se vprašamo, kakšne so lastnosti velikih sistemov.

Sinaj je bil prvi, ki je odkril biljard, ki je ergodičen, kar je tudi strogo dokazal, in sicer je to kvadrat s krožno oviro v središču, danes znan pod imenom Sinajev biljard. Če gledamo dve sosednji tirnici, ki se le majčkeno razlikujeta v začetni smeri gibanja, lahko hitro opazimo, da se ta kot med njima hitro povečuje, ob vsakem trku je namreč pomnožen z nekim faktorjem, večjim od ena, kar imenujemo eksponentno ločevanje tirnic. Zato govorimo o občutljivi odvisnosti od začetnih pogojev, kar je bistvo kaosa poleg ergodičnosti.

Sinajevo znanstveno delo je odprlo številna globoka vprašanja v tej smeri, pravzaprav je začrtalo cela nova področja raziskovanja v matematiki in fiziki.