Tresla se je miš, rodila se je gora
Teorija kaosa in metuljev pojav: Kako lahko majhne spremembe povzročijo neobvladljive rezultate
Odpri galerijo
Teorija kaosa opisuje sisteme, ki so zelo občutljivi za neznatne spremembe. FOTO: Shutterstock
V šestdesetih letih dvajsetega stoletja je bilo celo za raziskovalne namene na voljo zelo malo računalnikov. Eden izmed srečnežev, ki ga je lahko že takrat uporabljal, je bil ameriški meteorolog in matematik Edward Norton Lorenz, ki si je zadal izdelavo preproste računalniške simulacije vremena. Fizikalne enačbe, ki so opisovale gibanje zračnih tokov, je toliko poenostavil, da jih je lahko vnesel v z današnjega gledišča zelo počasen računalnik, ki je nato iz začetnih pogojev računal, kako se spreminja vreme v modelu.
Pozimi leta 1961 je Lorenz začel proučevati, kako se model obnaša v daljših obdobjih. Ker je del simulacije izračunal že prejšnje dni, se je odločil, da bo začel kar nekje na sredini, saj mu tako ne bo treba dolgo čakati na ugotovitve. V računalnik je zato vnesel vmesne rezultate prejšnjega dne, pognal program in odšel na kavo. Ko se je vrnil, je na izpiskih opazil, da so izračuni nekaj časa natančno sledili rezultatom prejšnjega dne, nato pa so se začele dogajati čudne reči. Podobnost se je vse bolj izgubljala, dokler ni bilo simulirano vreme povsem drugačno, kot ga je isti program napovedal prejšnji dan.
Najprej je pomislil, da je prišlo do izpada elektrike, in je zato program začel računati drugače, a se je hitro izkazalo, da prekinitve napajanja ni bilo. V knjigi Kaos: rojstvo nove znanosti (DZS, 1991) je James Gleick opisal trenutek, ko se je Lorenz zavedel pravega vzroka odstopanja: »Nenadoma ga je spreletelo spoznanje. Ni šlo za okvaro. Težava je bila v številih. Računalniški pomnilnik je shranjeval šest decimalnih mest: 0,506127. Na papirju pa so se zaradi varčevanja s prostorom izpisala le tri: 0,506. Lorenz je vnesel krajša, zaokrožena števila, ne da bi pomislil, da je lahko razlika na četrtem decimalnem mestu pomembna.« Takrat je Lorenz prišel na sled pomembnemu spoznanju, ki mu pravimo »metuljev pojav« (angl. butterfly effect).
Lorenz je bil sprva prepričan, da je zemeljska atmosfera povsem običajen sistem, ki ga lahko natančno opišemo, če poznamo ustrezne fizikalne enačbe in imamo dovolj podrobne meritve njenega trenutnega stanja. Vendar se je motil. Čeprav je imel pravi sistem enačb, ki so dobro opisovale gibanje zračnih tokov, vseeno ni mogel z njihovim sprotnim reševanjem natančno napovedati vremena za dlje časa v prihodnost.
S pomočjo računalniške simulacije je prišel do spoznanja, da lahko že malenkostna sprememba v gibanju zraka danes povzroči bistveno razliko v napovedi vremena čez nekaj tednov. To ugotovitev je na predavanju leta 1972 slikovito povzel v vprašanju: Ali lahko utrip metuljevih kril v Braziliji sproži tornado v Teksasu? Od takrat naprej veliki občutljivosti za minimalne spremembe začetnih pogojev povsem determinističnega sistema popularno pravimo metuljev pojav, področju znanosti, ki se ukvarja s takšnimi sistemi, pa teorija kaosa.
Ni trajalo dolgo in metuljev pojav so začeli odkrivati tudi na drugih področjih znanosti. Podobno občutljivost za majhne spremembe pogojev so denimo ugotovili pri enačbi, s katero so opisovali rast populacij posameznih vrst živali skozi čas. Malenkostne razlike v parametrih so lahko povsem spremenile napovedi. Podobno kaotično obnašanje so ugotovili pri mnogih drugih, na videz povsem preprostih enačbah.
Kaos je v znanosti ime za ugotovitev, da je lahko tudi sistem, ki ga znamo natančno opisati z matematičnimi enačbami, povsem nepredvidljiv, čeprav nanj ne vplivajo nikakršne neznane zunanje motnje. Ideja, da je poznavanje enačb in začetnega stanja dovolj, da znamo obnašanje tudi natančno napovedati, za kaotične sisteme ne velja več. Že zelo majhno odstopanje na začetku lahko privede do občutnega razhajanja v napovedih. Tudi povsem preproste in jasne enačbe, ki nimajo v sebi nič naključnega in nedoločljivega, se lahko obnašajo povsem nepredvidljivo. Bolj strokovno rečeno gre za deterministični kaos, ko tudi za sistem, katerega mehanizem delovanja natančno poznamo, ne moremo napovedati obnašanja, čeprav nanj ne vplivajo nobene zunanje motnje ali naključja.
Intuitivno seveda nismo navajeni, da bi lahko že zelo majhna napaka v nastavitvi mehanizma povzročila velike razlike v njegovem nadaljnjem obnašanju. To bi pomenilo, da bosta, če kazalce dveh enakih ur le malenkost drugače nastavimo, po določenem obdobju uri kazali povsem različen čas. Tudi če je začetno odstopanje tako majhno, da ga sploh ne opazimo, se bo v kaotičnem mehanizmu to hitro poznalo. Značilnosti kaosa so, da se navidezno kaotično obnašanje lahko pojavi tudi pri determinističnih sistemih, na katere ne deluje noben zunanji vir naključja. To je vzrok, da obnašanja takšnih sistemov ne moremo napovedati na dolgi rok, saj so zelo občutljivi za začetne pogoje.
Posledica odkritja kaosa pa ni bilo le spoznanje, da se marsičesa ne da napovedati, čeprav natančno poznamo mehanizem, kako stvari delujejo. Izkazalo se je tudi, da so lahko zelo zapleteni pojavi posledica povsem preprostih mehanizmov oziroma enačb, ki jih opisujejo. Kar dela po eni strani svet na videz kaotičen, hkrati ustvarja urejenost. Urejenost in kaos sta tako tesneje povezana, kot se je morda nekoč zdelo.
–––
Sašo Dolenc je urednik Kvarkadabre, spletnega časopisa za popularizacijo znanosti.
Pozimi leta 1961 je Lorenz začel proučevati, kako se model obnaša v daljših obdobjih. Ker je del simulacije izračunal že prejšnje dni, se je odločil, da bo začel kar nekje na sredini, saj mu tako ne bo treba dolgo čakati na ugotovitve. V računalnik je zato vnesel vmesne rezultate prejšnjega dne, pognal program in odšel na kavo. Ko se je vrnil, je na izpiskih opazil, da so izračuni nekaj časa natančno sledili rezultatom prejšnjega dne, nato pa so se začele dogajati čudne reči. Podobnost se je vse bolj izgubljala, dokler ni bilo simulirano vreme povsem drugačno, kot ga je isti program napovedal prejšnji dan.
Drobna, a pomembna odstopanja
Najprej je pomislil, da je prišlo do izpada elektrike, in je zato program začel računati drugače, a se je hitro izkazalo, da prekinitve napajanja ni bilo. V knjigi Kaos: rojstvo nove znanosti (DZS, 1991) je James Gleick opisal trenutek, ko se je Lorenz zavedel pravega vzroka odstopanja: »Nenadoma ga je spreletelo spoznanje. Ni šlo za okvaro. Težava je bila v številih. Računalniški pomnilnik je shranjeval šest decimalnih mest: 0,506127. Na papirju pa so se zaradi varčevanja s prostorom izpisala le tri: 0,506. Lorenz je vnesel krajša, zaokrožena števila, ne da bi pomislil, da je lahko razlika na četrtem decimalnem mestu pomembna.« Takrat je Lorenz prišel na sled pomembnemu spoznanju, ki mu pravimo »metuljev pojav« (angl. butterfly effect).
Lorenz je bil sprva prepričan, da je zemeljska atmosfera povsem običajen sistem, ki ga lahko natančno opišemo, če poznamo ustrezne fizikalne enačbe in imamo dovolj podrobne meritve njenega trenutnega stanja. Vendar se je motil. Čeprav je imel pravi sistem enačb, ki so dobro opisovale gibanje zračnih tokov, vseeno ni mogel z njihovim sprotnim reševanjem natančno napovedati vremena za dlje časa v prihodnost.
Tudi sistem, ki ga znamo natančno opisati z matematičnimi enačbami, je povsem nepredvidljiv, čeprav nanj ne vplivajo neznane zunanje motnje.
S pomočjo računalniške simulacije je prišel do spoznanja, da lahko že malenkostna sprememba v gibanju zraka danes povzroči bistveno razliko v napovedi vremena čez nekaj tednov. To ugotovitev je na predavanju leta 1972 slikovito povzel v vprašanju: Ali lahko utrip metuljevih kril v Braziliji sproži tornado v Teksasu? Od takrat naprej veliki občutljivosti za minimalne spremembe začetnih pogojev povsem determinističnega sistema popularno pravimo metuljev pojav, področju znanosti, ki se ukvarja s takšnimi sistemi, pa teorija kaosa.
Kaos v navideznem redu
Ni trajalo dolgo in metuljev pojav so začeli odkrivati tudi na drugih področjih znanosti. Podobno občutljivost za majhne spremembe pogojev so denimo ugotovili pri enačbi, s katero so opisovali rast populacij posameznih vrst živali skozi čas. Malenkostne razlike v parametrih so lahko povsem spremenile napovedi. Podobno kaotično obnašanje so ugotovili pri mnogih drugih, na videz povsem preprostih enačbah.
Kaos je v znanosti ime za ugotovitev, da je lahko tudi sistem, ki ga znamo natančno opisati z matematičnimi enačbami, povsem nepredvidljiv, čeprav nanj ne vplivajo nikakršne neznane zunanje motnje. Ideja, da je poznavanje enačb in začetnega stanja dovolj, da znamo obnašanje tudi natančno napovedati, za kaotične sisteme ne velja več. Že zelo majhno odstopanje na začetku lahko privede do občutnega razhajanja v napovedih. Tudi povsem preproste in jasne enačbe, ki nimajo v sebi nič naključnega in nedoločljivega, se lahko obnašajo povsem nepredvidljivo. Bolj strokovno rečeno gre za deterministični kaos, ko tudi za sistem, katerega mehanizem delovanja natančno poznamo, ne moremo napovedati obnašanja, čeprav nanj ne vplivajo nobene zunanje motnje ali naključja.
Veliki občutljivosti za minimalne spremembe začetnih pogojev pravimo metuljev pojav.
Področje znanosti, ki se ukvarja s takšnimi determinističnimi sistemi, je teorija kaosa.
Področje znanosti, ki se ukvarja s takšnimi determinističnimi sistemi, je teorija kaosa.
Red v neredu
Intuitivno seveda nismo navajeni, da bi lahko že zelo majhna napaka v nastavitvi mehanizma povzročila velike razlike v njegovem nadaljnjem obnašanju. To bi pomenilo, da bosta, če kazalce dveh enakih ur le malenkost drugače nastavimo, po določenem obdobju uri kazali povsem različen čas. Tudi če je začetno odstopanje tako majhno, da ga sploh ne opazimo, se bo v kaotičnem mehanizmu to hitro poznalo. Značilnosti kaosa so, da se navidezno kaotično obnašanje lahko pojavi tudi pri determinističnih sistemih, na katere ne deluje noben zunanji vir naključja. To je vzrok, da obnašanja takšnih sistemov ne moremo napovedati na dolgi rok, saj so zelo občutljivi za začetne pogoje.
Posledica odkritja kaosa pa ni bilo le spoznanje, da se marsičesa ne da napovedati, čeprav natančno poznamo mehanizem, kako stvari delujejo. Izkazalo se je tudi, da so lahko zelo zapleteni pojavi posledica povsem preprostih mehanizmov oziroma enačb, ki jih opisujejo. Kar dela po eni strani svet na videz kaotičen, hkrati ustvarja urejenost. Urejenost in kaos sta tako tesneje povezana, kot se je morda nekoč zdelo.
–––
Sašo Dolenc je urednik Kvarkadabre, spletnega časopisa za popularizacijo znanosti.
